Question

20．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=50千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（保留到小数点后1位）
（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中根据CH=AC•sin∠CAB求出CH的长，由AH=AC•cos∠CAB求出AH的长，同理可得出BH的长，根据AB=AH+BH可得出结论；
（2）根据在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA可得出BC的长，由AC+BC-AB即可得出结论．

解答 解：（1）作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈50×0.42=21千米，
AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈50×0.91=45.5千米，
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=21÷tan37°≈21÷0.75=28千米，
∴AB=AH+BH=45.5+28=73.5千米．
故改直的公路AB的长73.5千米；
（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=21÷sin37°≈21÷0.6=35千米，
则AC+BC-AB=50+35-73.5=11.5千米．
答：公路改直后比原来缩短了11.5千米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．