Question

10．如图，在平面直角坐标系中，直线m经过原点，且与x轴正半轴成60度的角．若点N到x轴、直线m的距离分别为2和1，则点N的坐标为（0，2）或（0，-2）或（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）或（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2）．

Answer 1

分析 由题意可知点N的纵坐标为2或-2，当N在x轴上方时，过N作x轴的垂直交直线于点M，交x轴于点F，过N作NE⊥直线m，垂足为E，当N在直线m下方时则有∠OMN=30°，当N在直线m上方时则有∠NME=30°，利用直角三角形的性质可求得点N的横坐标，再根据对称性可求得N在x轴下方时的坐标，可得出答案．

解答 解：∵N到x轴的距离为2，
∴N点纵坐标为2或-2，
当N点在x轴上方时，分两种情况：
①当N在直线m下方时，
如图1，过N作NF⊥x轴于点F，交直线m于点M，过N作NE⊥直线m，垂足为E，则NE=1，

∵∠MOF=60°，
∴∠OMF=30°，
在Rt△MEN中，MN=2NE=2，
∴MF=2+2=4，
∴OF=FMtan30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴此时N点坐标为（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）；
②当N点在直线m上方时，如图2，过N作NE⊥直线m于点E，

则NE=1，且直线m与y轴的夹角为30°，
∵N到x轴的距离为2，
∴N点在y轴上，
∴此时N点坐标为（0，2）；
当N点在x轴下方时，由对称性可知N点的坐标为（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2）或（0，-2）；
综上可知N点的坐标为：（0，2）或（0，-2）或（$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，2）或（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2）．
故答案为：（0，2）或（0，-2）或（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2）或（-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，-2）．

点评 本题主要考查一次函数图象点的坐标和直角三角形的性质，根据条件确定出N点的位置是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．