Question

15．已知，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，∠BAD的平分线交DC于点E，∠DAF=22.5°，若点P、Q分别是AD、AF上的动点，则DQ+PQ的最小值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先在AE上取点M，使得AM=AP，作DN⊥AE于点N，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△APQ≌△AMQ，即可判断出DQ+PQ=DM；最后根据DN⊥AE，求出DN的值，即可判断出DQ+PQ的最小值，据此解答即可．

解答 解：如图1，在AE上取点M，使得AM=AP，作DN⊥AE于点N，
，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=90°÷2=45°，
∵∠DAF=22.5°，
∴∠EAF=45°-22.5°=22.5°，
∴∠DAF=∠EAF，
在△APQ和△AMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AM}\\{∠PAQ=∠MAQ}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△APQ≌△AMQ，
∴PQ=MQ，
∴DQ+PQ=DQ+MQ=DM，
∵DN⊥AE，DN=AD×sin45°=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴DQ+PQ的最小值为3$\sqrt{2}$．
故答案为：$3\sqrt{2}$．

点评 （1）此题主要考查了轴对称-最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
（2）此题还考查了矩形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．