Question

15．如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．
（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，AC=6，得到CP=AQ=1，PQ=BD=8，由OB=DO，OQ=OP，证得四边形BPDQ为平形四边形，根据对角线相等，证得四边形BPDQ为矩形；
（2）根据直角三角形的性质、勾股定理求得结论．

解答 解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ为矩形．
理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，
∵AC=6，
∴CP=AQ=1
∴PQ=BD=8
∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8
∴AO=CO=3
∴BO=DO=4
∴OQ=OP=4
∴四边形BPDQ为平形四边形，
∵PQ=BD=8
∴四边形BPDQ为矩形，
（2）由（1）得BO=4，CQ=7，
∵BC⊥AC
∴∠BCA=90°
BC²+CQ²=BQ²
∴BQ=$\sqrt{56}=2\sqrt{14}$．

点评 此题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理得应用，动点问题等知识点．