Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．

（1）求证：AC2=CD·BC；

（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．

①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；

②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.

【解析】

（1）欲证明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；（2）①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；

②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．

解：（1）∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB．

又∵AC⊥AB，AD⊥AE，

∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°，

∴∠DAC=∠EAB．

又∵E是BC的中点， ∴AE=BE，

∴∠EAB=∠ABC，∴∠DAC=∠ABC，

∴△ACD∽△BCA，∴，

∴=CD·BC；

（2）①证明：连接AH．∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称，∴AH⊥BC．

∵EG⊥AB，AE=BE，

∴点G是AB的中点，

∴HG=AG，∴∠GAH=∠GHA．

∵点F为AC的中点，

∴AF=FH，∴∠HAF=∠FHA，

∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，

∴FH⊥GH；

②∵EK⊥AB，AC⊥AB， ∴EK∥AC，

又∵∠B=30°，∴AC=BC=EB=EC．

又EK=EB，∴EK=AC，

即AK=KE=EC=CA，∴四边形AKEC是菱形．