Question

【题目】我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）．它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案．在弦图中（如图2），已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH，CF于点P、Q．在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M，N，且MN经过点O，若MH＝3ME，BD＝2MN＝4 ．则△APD的面积为_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

连接FH，作EK∥MN，OL⊥DG，通过正方形的性质和全等三角形的性质以及勾股定理可求EM＝1，可得EH＝4，由勾股定理可求HD＝2，AH＝6，由平行线的性质可得PH＝1，即可求解．

如图，连接FH，作EK∥MN，OL⊥DG

∵四边形ABCD是正方形，且BD＝2MN＝4

∴MN＝2，AB＝2

∵四边形EFGH是正方形

∴FO＝HO，EH∥FG

∴∠HMO＝∠FNO，∠MHO＝∠NFO，且FO＝HO

∴△MHO≌△FNO（AAS）

∴MH＝FN

∵MH＝3ME，

∴MH＝FN＝3EM，EH＝EF＝4EM

∴EK∥KN，EH∥FG

∴四边形EMNK是平行四边形

∴MN＝EK＝2，KN＝EM

∴FK＝2EM

∵EF2+FK2＝EK2，

∴16EM2+4EM2＝20

∴EM＝1

∴EH＝4，

∵AD2＝（AE+4）2+DH2，且AE＝DH

∴DH＝AE＝2

∴AH＝6

∵PH∥OL

∴

∴PH＝1

∴AP＝5

∴S△APD＝×5×2＝5

故答案为：5.