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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB﹣BC运动,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动,过点P作PN⊥AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作PQMN.设运动的时间为x(s),PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2

(1)当PQ⊥AB时,x等于多少;

(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;

(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分时,直接写出x的值.

【答案】(1)s;(2)y=;(3)当x=s时,直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分.

【解析】

(1)PQAB时,BQ=2PB,由此构建方程即可解决问题;

(2)分三种情形分别求解即可解决问题;

(3)分两种情形分别求解即可解决问题.

解:(1)PQAB时,BQ=2PB

2x=2(2﹣2x),

x=s.

(2)①如图1中,当0x时,重叠部分是四边形PQMN.

y=2x×x=2x2

②如图②中,当x1时,重叠部分是四边形PQEN.

y=(2﹣x+2x)×x=x2+x.

③如图3中,当1x2时,重叠部分是四边形PNEQ.

y=(2﹣x+2)×[x﹣2(x﹣1)]=x2﹣3x+4

综上所述,y=

(3)①如图4中,当直线AM经过BC中点E时,满足条件.

则有:tanEAB=tanQPB,

=

解得x=

②如图5中,当直线AM经过CD的中点E时,满足条件.

此时tanDEA=tanQPB,

=

解得x=

综上所述,当x=时,直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分.

故答案为:(1)s;(2)y=;(3)x=

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地铁站

A

B

C

D

E

x/km

7

9

11

12

13

y1/min

16

20

24

26

28

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