【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB﹣BC运动,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动,过点P作PN⊥AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作PQMN.设运动的时间为x(s),PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2)
(1)当PQ⊥AB时,x等于多少;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分时,直接写出x的值.
【答案】(1)s;(2)y=;(3)当x=s或时,直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分.
【解析】
(1)当PQ⊥AB时,BQ=2PB,由此构建方程即可解决问题;
(2)分三种情形分别求解即可解决问题;
(3)分两种情形分别求解即可解决问题.
解:(1)当PQ⊥AB时,BQ=2PB,
∴2x=2(2﹣2x),
∴x=s.
(2)①如图1中,当0<x≤时,重叠部分是四边形PQMN.
y=2x×x=2x2.
②如图②中,当<x≤1时,重叠部分是四边形PQEN.
y=(2﹣x+2x)×x=x2+x.
③如图3中,当1<x<2时,重叠部分是四边形PNEQ.
y=(2﹣x+2)×[x﹣2(x﹣1)]=x2﹣3x+4;
综上所述,y=
(3)①如图4中,当直线AM经过BC中点E时,满足条件.
则有:tan∠EAB=tan∠QPB,
∴=,
解得x=.
②如图5中,当直线AM经过CD的中点E时,满足条件.
此时tan∠DEA=tan∠QPB,
∴=,
解得x=,
综上所述,当x=或时,直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分.
故答案为:(1)s;(2)y=;(3)x=或.
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【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在B左边),与y轴交于点C.
(1)如图1,已知A(﹣1,0),B(3,0).
①直接写出抛物线的解析式;
②点H在x轴上,D(1,0),连接AC,DC,HC,若CD平分∠ACH,求点H的坐标;
(2)如图2,直线y=﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于点D,点E,D关于x轴对称.
①若点D在抛物线对称轴的右侧,求证:DB⊥AE;
②若点D在抛物线对称轴的左侧,请直接判断,BD是否垂直AE?
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【题目】如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
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【题目】发现任意三个连续的整数中,最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数;
验证:(1) 的结果是4的几倍?
(2)设三个连续的整数中间的一个为n,计算最大数与最小数这两个数的平方差,并说明它是4的倍数;
延伸:说明任意三个连续的奇数中,最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数.
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【题目】随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择.李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位:km),乘坐地铁的时间(单位:min)是关于的一次函数,其关系如下表:
地铁站 | A | B | C | D | E |
x/km | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 |
y1/min | 16 | 20 | 24 | 26 | 28 |
(1)求关于的函数解析式;
(2)李华骑单车的时间(单位:min)也受的影响,其关系可以用=2-11+78来描述.求李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短,并求出最时间.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点,G,H分别是BD,AC的中点,AB,CD满足( )条件时,四边形EGFH是菱形.
A.AB=CDB.AB//CDC.AB⊥CDD.AB=CD AB//CD
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【题目】在△ABC中, AB=BC,O是AC的中点,P是AC上的一个动点(P点不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.
(1)如图1,判断线段OE与OF的数量关系是什么,请说明理由;
(2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由?
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【题目】我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理,这是著名的赵爽弦图(如图1).它是由四个全等的直角三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案.在弦图中(如图2),已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点,对角线BD分别交AH,CF于点P、Q.在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M,N,且MN经过点O,若MH=3ME,BD=2MN=4 .则△APD的面积为_____.
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【题目】某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元.
(1)求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元?
(2)该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍.设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元.
①求y关于n的函数关系式;
②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30<m<100)元,且限定商店最多购进B型手机80台.若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案.
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