Question

14．如图，在?ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△DFE；
（2）连接BD、AF，当BE平分∠ABD时，求证：四边形ABDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和已知条件得出∠ABE=∠DFE，AE=DE，由AAS证明△ABE≌△DFE即可．
（2）由全等三角形的性质得出AB=DF，证出四边形ABDF是平行四边形，再由平行四边形的性质和已知条件得出∠DBF=∠DFB，得出DB=DF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∵点F在CD的延长线上，
∴FD∥AB．
∴∠ABE=∠DFE．
∵E是AD中点，
∴AE=DE．
在△ABE和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DFE}&{\;}\\{∠BEA=∠DEF}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（AAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△DFE，
∴AB=DF．
∵AB∥DF，AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBF．
∵AB∥DF，
∴∠ABF=∠DFB，
∴∠DBF=∠DFB．
∴DB=DF．
∴四边形ABDF是菱形．

点评 此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质．此题难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．