Question

18．（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PC=5，PB=2$\sqrt{2}$，求∠APB的度数；
（2）如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBQ重合，所以△ABP和△BCQ全等，连接PQ从而可求出其长度，再根据勾股定理的逆定理证明∠PQC是直角，∠PQB=45°，从而求出∠APB的度数；
（2）根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）连接PQ，
∵△ABP≌△BCQ，
∴∠ABP=∠CBQ，
∴∠PBQ=90°，
∵PB=BQ=2$\sqrt{2}$，
∴PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=4，
由旋转，QC=PA=3，
在△QPC中，4²+3²=5²，
所以△QPC为直角三角形．
∴∠PQC=90°，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠PQB=45°，
∴∠PQC+∠PQB=∠APB=135°；

（2）作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图2：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAD=∠CAD′}\\{AD=AD′}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=$\sqrt{A{D}^{2}+（AD′）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=$\sqrt{D{C}^{2}+（DD′）^{2}}$=$\sqrt{59}$，
∴BD=CD′=$\sqrt{59}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形以及旋转的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用了全等三角形的判定与性质作出全等图形是解题关键．