【题目】如图1,已知点E在正方形ABCD的边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①AE=EF是否总成立?请给出证明;
②在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEF是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)解:如图1,取AB的中点G,连接EG,
△AGE与△ECF全等;
(2)①若点E在线段BC上滑动时,AE=EF总成立.
证明:如图2,在AB上截取AH=EC,连接EH,
∵AB=BC,
∴BH=BE,
∴△HBE是等腰直角三角形,
∴∠AHE=180°﹣45°=135°,
又∵CF平分正方形的外角,
∴∠ECF=135°,
∴∠AHE=∠ECF.
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△AHE≌△ECF,
∴AE=EF;
②答:存在,如图3,
过D作DM⊥AE交AB于点M,
则有:DM∥EF,连接ME、DF,
∵在△ADM与△BAE中,,
∴△ADM≌△BAE(AAS),
∴MD=AE,
∵AE=EF,
∴MD=EF,
∵MD∥EF,
∴四边形DMEP为平行四边形.
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【题目】如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.
(1)求证:CG是⊙O的切线.
(2)求证:AF=CF.
(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.
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【题目】如图,矩形ABCD的顶点AB在x轴上,点D的坐标为(6,8),点E在边BC上,△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处,若△ODF为等腰三角形,点E的坐标为 .
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【题目】已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,tanA=,CD⊥AB于点D,DE⊥AC,点F在线段BC上,EF交CD于点M.
(1)求CD的长;
(2)若△EFC与△ABC相似,试求线段EM的长.
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【题目】为了解某市参加中考的25000名学生的身高情况,抽查了其中1200名学生的身高进行统计分析.下面叙述正确的是( )
A.25000名学生是总体 B.1200名学生的身高是总体的一个样本
C.每名学生是总体的一个个体 D.以上调查是全面调查
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【题目】下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一个锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 一条直角边和一个锐角分别相等
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