Question

【题目】如图，平面直角坐标系中,直线y= x＋8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP＋PH＋HQ值最小时，点P的坐标为_____________________

Answer 1

【答案】(-4,4)

【解析】试题解析：连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，

∵四边形PHCB是平行四边形，

∴PB=CH，

∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，

∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，

∴只需CH+HQ最小即可，

∵两点之间线段最短，

∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，

过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，

∵点Q是点B关于点A的对称点，

∴OA是△BQM的中位线，

∴QM=2OA=12，OM=OB=8，

∴Q（-12，-8），

设直线CQ的关系式为：y=kx+b，

将C（0，4）和Q（-12，-8）分别代入上式得：

，

解得： ，

∴直线CQ的关系式为：y=x+4，

令y=0得：x=-4，

∴H（-4，0），

∵PH∥y轴，

∴P（-4，4）．