Question

已知如图，直线AE：y=3x+12交x轴于E点，交y轴于A点，再把△AOE沿着AE翻折，使得AO落在AD的位置，设直线AD交轴x于点B，P点以1个单位每秒的速度自B点出发沿BO-OA向终点A运动，设点P的运动时间为t．
（1）求直线AD的解析式；
（2）设△PDE的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量的取值范围；
（3）连接DP，设直线DP交直线AE于点Q，当直线DP与直线AE的夹角的正切为

1

2

时，求t的值，并判断此时以P点为圆心，以

6 10

7

为半径的圆与直线AE的位置关系．

Answer 1

分析：（1）先根据直线y=3x+12求出点A，E的坐标从而求出OE=4，0A=12，再△ADE是△AOE沿着AE翻折所得，求出ED=4，AD=12，∠EDB=90°，然后根据△EDB∽△AOB求出BE=5，得到点B的坐标为（-9，0），利用待定系数法即可求出直线AD的解析式为y=

4

3

x+12．
（2）由于P点以1个单位每秒的速度自B点出发沿BO-OA向终点A运动，所以当点P分别在线段BE，OE，OA上时，△PDE的面积的求法不同，所以必须分三种情况讨论．
当点P在线段BE，OE时，利用三角形的面积公式来表示所求三角形的面积，所以就需要作△PDE的高，故过点D作DF⊥OB于点F，则有△PDE的面积S=

1

2

PE•DF，此时PE有两种表示情况：①PE=5-t，②PE=t-5，所以可求出S的两种情况，当点P在线段OA上时，△PDE的面积S=S_{四边形ADEO}-S_△POE-S_△ADP=2S_△AOE-

1

2

×OP•OE-

1

2

×AP•OF，此时OP=t-9，AP=OB+OA-t=21-t，代入即可求得S的第三种情况．
（3）根据直线DP与直线AE的夹角的正切为

1

2

，可知tan∠DQN=

DN

NQ

=

1

2

，满足这个条件的点P有两个，分别在直线AE的左右两侧．利用点D，O关于直线AE对称，连接OD，可得AE⊥OD，DN=ON，AE=4

10

，从而求出AN=

18 10

5

，EN=AE-AN=

2 10

5

，ON=

6 10

5

，NQ=2DN=

12 10

5

，分两种情况讨论：①当点P在直线AE左侧时，过点P做PG⊥AE于G，则QG=2PG，根据tan∠GPE=tan∠OAE=

1

3

求得t=

55

7

，PG=

6 10

7

  从而判断以P点为圆心，以

6 10

7

为半径的圆与直线AE位置关系为相切．②当点P在直线AE右侧时，过点P作PM⊥AE于点M根据tan∠MQP=tan∠DQN=

1

2

，tan∠PAM=

1

3

可求出PM=

6 10

25

，t=

93

5

，则可判断以P点为圆心，以

6 10

7

为半径的圆与直线AE位置关系为相交．

解答：解：（1）由直线y=3x+12可知
当x=0时，y=12，即点A的坐标为（0，12）
当y=0时，x=-4，即点E的坐标为（-4，0）
则OE=4，0A=12
∵△ADE是△AOE沿着AE翻折所得
∴ED=EO=4，AD=AO=12，∠EDA=∠EOA=∠EDB=90°
∵∠ABO=∠EBD，∠EDB=∠AOB
∴△EDB∽△AOB
∴

BE

AB

=

BD

BO

=

DE

AO

=

1

3

∴AB=3BE
∴BD=AB-AD=3BE-12
∵OB=BE+OE=BE+4 

BD

OB

=

1

3

∴

3BE-12

BE+4

=

1

3

∴BE=5  OB=9  BD=3
即点B的坐标为（-9，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（0，12），B（-9，0）代入得：k=

4

3

，b=12
∴y=

4

3

x+12

（2）过点D作DF⊥OB于点F，由（1）可知BD=3  ED=4
∴BE=5
在Rt△BDE中DF=

BD•DE

BE

=

3×4

5

=

12

5

①当点P在点E，B之间时，BP=t，PE=5-t
S=

1

2

PE•DF=

1

2

（5-t）×

12

5

=-

6

5

t+6（0≤t＜5）

②当点P在点E，O之间时，PE=t-5
S=

1

2

PE•DF=

1

2

（t-5）×

12

5

=

6

5

t-6（5≤t＜9）

 ③由直线AD的解析式y=

4

3

x+12可知，当y=

12

5

时，x=-

36

5

，即点D的坐标为（-

36

5

，

12

5

）
 当点P在线段OA上时，OP=t-9，AP=OB+OA-t=21-t  
S=S_{四边形ADEO}-S_△POE-S_△ADP=2S_△AOE-

1

2

×OP•OE-

1

2

×AP•OF=48-

1

2

 （t-9）×4-

1

2

×（21-t）×

36

5

=

8

5

t-

48

5

（9≤t≤21）
                                                                                                       

（3）连接OD，教AE于点N
∵点D，O关于直线AE对称
∴AE⊥OD  DN=ON    AE=

OA2+OE2

=4

10

∴Rt△ANO∽Rt△ONE∽Rt△AOE
∴AN=

AO2

AE

=

144

4 10

=

18 10

5

    EN=AE-AN=4

10

-

18 10

5

=

2 10

5

  ON=DN=

1

3

AN=

6 10

5

∵tan∠DQN=

DN

NQ

=

1

2

∴NQ=2DN=

12 10

5

①当点P在直线AE左侧时，过点P做PG⊥AE于G，则QG=2PG
∵∠GPE=∠OAE
∴tan∠GPE=tan∠OAE=

1

3

∴GE=

1

3

PG
∴QE=QG+GE=2PG+

1

3

PG=

7

3

PG
又∵QE=QN-NE=2

10

∴PG=

6 10

7

  GE=

2 10

7

∴PE=

PG2+GE2

=

20

7

又∵PE=5-t
∴5-t=

20

7

 即t=

55

7

∵PG=

6 10

7

 
∴当t=

55

7

时，以P点为圆心，以

6 10

7

为半径的圆与直线AE相切．

②当点P在直线AE右侧时，过点P作PM⊥AE于点M
∵tan∠MQP=tan∠DQN=

1

2

∴MQ=2PM
∵tan∠PAM=

1

3

∴AM=3PM
∴AQ=2PM+3PM=5PM
又∵AQ=AN-QN=

6 10

5

∴5PM=

6 10

5

    即PM=

6 10

25

  ＜

6 10

7

∴AD=

10

PM=

12

5

又∵AP=21-t
∴21-t=

12

5

    即t=

93

5

∴当t=

93

5

时，以P点为圆心，以

6 10

7

为半径的圆与直线AE相交．

点评：考查了有关动点类的综合性习题，考虑问题要全面，如本题中的（2）小题有三种情况，（3）小题有两种情况．在求图形面积与动点的运动时间之间的函数关系式时，首先考虑面积公式，用面积公式中需要的量用含t的代数式表示，再代入面积公式即可，若不能直接用面积公式就要考虑“割补法”来求取图形面积，如本题（2）小题中的第三种情况．