Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点，点E在边AB上，连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F．连接EF．下列结论：①BE+CF＝BC；②AD≥EF；③S四边形AEDF＝AD2；④S△AEF≤，其中正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

由“ASA”可证△ADE≌△CDF，可得AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，由等腰直角三角形的性质可判断①，③，由三角形的三边关系可判断②，由三角形面积关系可判断④．

解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点，

∴BD＝CD＝AD＝BC，∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，BC＝AB，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠BAD＝∠C，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF，

∴BE+CF＝BE+AE＝AB，且BC＝AB，

∴BE+CF＝BC，故①正确；

∵AE+AF≥EF，

∴AF+CF≥EF，

∴AC≥EF，

∴AD≥EF，故②错误；

∵△ADE≌△CDF，

∴S△ADE＝S△CDF，

∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△CDF＝S△ADC＝×AD2，故③正确；

∵S△AEF＝×AE×AF，且AE+AF＝AC，

∴当AE＝AF时，S△AEF的最大值＝S△ABC，

∴S△AEF≤，故④正确，

故答案为：① ③ ④