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【题目】已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;

(3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣;(2)存在满足条件的P点坐标为(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);(3)满足条件的点E为(﹣7,0)或(﹣1,0)或(,0)或(0).

【解析】试题分析:1)因为抛物线经过点A40),B10),所以可以设抛物线为y=x+4)(x1),展开即可解决问题

2先证明ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题

3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线讨论即可解决问题.

试题解析:解:(1)抛物线的解析式为y=x+4)(x1),即

2)存在.当x=0 =2,则C02),OC=2A40),B10),OA=4OB=1AB=5,当PCB=90°时,AC2=42+22=20BC2=22+12=5AB2=52=25

AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形,ACB=90°当点P与点A重合时,PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(﹣40);

PBC=90°时,PBAC,如图1,设直线AC的解析式为y=mx+n,把A40),C02)代入得 ,解得 直线AC的解析式为y=x+2BPAC直线BP的解析式为y=x+p,把B10)代入得+p=0,解得p=直线BP的解析式为y=x,解方程组 ,此时P点坐标为(﹣53);

综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣40),P2﹣5﹣3);

3)存在点E,设点E坐标为(m0),Fn ,分三种情况讨论:

AC为边,CF1AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(﹣70);

AC为边时,ACEF,易知点F纵坐标为﹣2 =2,解得n= ,得到F22),F32),根据中点坐标公式得到: = =,解得m=,此时E20),E30);

AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E4﹣10).

综上所述满足条件的点E为(﹣70)或(﹣10)或(0)或(0).

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1)如图,将△ECD沿CB方向平移,使点E落在AB上,得△E1C1D1,求平移的距离;

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(探究)

探究一:如图②,若∠A90°,则∠C180°﹣∠A90°,即ADABCDBC,又因为BD平分∠ABC,所以ADCD,理由是:   

探究二:若∠A≠90°,请借助图①,探究ADCD的数量关系并说明理由.

[理论]D是∠ABC的角平分线BP上一点,连接ADCD,若∠A与∠C互补,则线段ADCD的数量关系是   

[拓展]已知:如图③,在ABC中,ABAC,∠A100°BD平分∠ABC

求证:BCAD+BD

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(2DG=BE.

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