【题目】如图,以△ABC的各边,在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI,BCFE,ACHG.
(1)求证:△BDE≌△BAC;
(2)求证:四边形ADEG是平行四边形.
(3)直接回答下面两个问题,不必证明:
①当△ABC满足条件_____________________时,四边形ADEG是矩形.
②当△ABC满足条件_____________________时,四边形ADEG是正方形?
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)①∠BAC=135°;②∠BAC=135°且AC=
【解析】
(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC;
(2)由△BDE≌△BAC,可得全等三角形的对应边DE=AG.然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°,易证ED∥GA;最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论;
(3)①根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°.然后由周角的定义求得∠BAC=135°;
②由“正方形的内角都是直角,四条边都相等”易证∠DAG=90°,且AG=AD.由正方形ABDI和正方形ACHG的性质证得:ACAB.
(1)∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形,∴AC=AG,AB=BD,BC=BE,∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°,∴∠ABC=∠EBD(同为∠EBA的余角).
在△BDE和△BAC中,∵,∴△BDE≌△BAC(SAS);
(2)∵△BDE≌△BAC,∴DE=AC=AG,∠BAC=∠BDE.
∵AD是正方形ABDI的对角线,∴∠BDA=∠BAD=45°.
∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°,∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC,∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°,∴DE∥AG,∴四边形ADEG是平行四边形(一组对边平行且相等).
(3)①当四边形ADEG是矩形时,∠DAG=90°.
则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°,即当∠BAC=135°时,平行四边形ADEG是矩形;
②当四边形ADEG是正方形时,∠DAG=90°,且AG=AD.
由①知,当∠DAG=90°时,∠BAC=135°.
∵四边形ABDI是正方形,∴ADAB.
又∵四边形ACHG是正方形,∴AC=AG,∴ACAB,∴当∠BAC=135°且ACAB时,四边形ADEG是正方形.
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【题目】新定义:[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+e(a≠0,a,b,c为实数)的“图象数”,如:y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1,2,3]
(1)二次函数y=x2-x-1的“图象数”为 .
(2)若图象数”是[m,m+1,m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
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【题目】有一张长方形纸片(如图①),,将纸片折叠,使落在边上,为的对应点,折痕为(如图②),再将长方形以为折痕向右折叠,若点落在的三等分点上,则的长为( )
A.8B.10C.8或10D.8或12
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【题目】材料:思考的同学小斌在解决连比等式问题:“已知正数,,满足,求的值”时,采用了引入参数法,将连比等式转化为了三个等式,再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出,,之间的关系,从而解决问题.过程如下:
解;设,则有:
,,,
将以上三个等式相加,得.
,,都为正数,
,即,.
.
仔细阅读上述材料,解决下面的问题:
(1)若正数,,满足,求的值;
(2)已知,,,互不相等,求证:.
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【题目】如图,在正方形网络中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A、B、C的坐标分别为A(-2,4)、B(-2,0)、C(-4,1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)画出△ABC关于原点O中心对称图形△A1B1C1.
(2)平移△ABC,使点A移动到点A2(0,2),画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.
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【题目】已知某市2018年企业用水量x(吨)与该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图.
(1)当x≥50时,求y关于x的函数关系式;
(2)若某企业2018年10月份的水费为620元,求该企业2018年10月份的用水量.
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【题目】如图,正方形ABCD中,AB=1,M,N分别是AD,BC边的中点,沿BQ将△BCQ折叠,若点C恰好落在MN上的点P处,则PQ的长为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为P,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,函数y=kx+2的图象分别交x轴,y轴于点C,D,已知△OCD的面积S△OCD=1,=
(1)求点D的坐标;
(2)求k,m的值;
(3)写出当x>0时,使一次函数y=kx+2的值大于反比例函数y=的值x的取值范围.
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【题目】2017年全球超级计算机500强名单公布,中国超级计算机“神威·太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名.已知“神威·太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的2.74倍.这两种超级计算机分别进行100亿亿次浮点运算,“神威·太湖之光”的运算时间比“天河二号”少18.75秒,求这两种超级计算机的浮点运算速度.设“天河二号”的浮点运算速度为亿亿次/秒,依题意,可列方程为___________.
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