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【题目】如图,在正方形ABCD中,点MCD边上,点N在正方形ABCD外部,且满足∠CMN=90°,CM=MN.连接AN,CN,取AN的中点E,连接BE,AC,交于F点.

(1) ①依题意补全图形;

②求证:BEAC.

(2)请探究线段BE,AD,CN所满足的等量关系,并证明你的结论.

(3)设AB=1,若点M沿着线段CD从点C运动到点D,则在该运动过程中,线段EN所扫过的面积为______________(直接写出答案).

【答案】(1)①补图见解析;②证明见解析;(2)2BE=AD+CN,证明见解析;(3).

【解析】(1)①依照题意补全图形即可;②连接CE,由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=MCN=45°,从而得出∠ACN=90°,再根据直角三角形的性质以及点EAN的中点即可得出AE=CE,由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上,由此即可证得BEAC;

(2)BE=AD+CN.根据正方形的性质可得出BF=AD,再结合三角形的中位线性质可得出EF=CN,由线段间的关系即可证出结论;

(3)找出EN所扫过的图形为四边形DFCN.根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BDCN,由此得出四边形DFCN为梯形,再由AB=1,可算出线段CF、DF、CN的长度,利用梯形的面积公式即可得出结论.

1)①依题意补全图形,如图1所示.

②证明:连接CE,如图2所示.

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BCD=90°,AB=BC,

∴∠ACB=ACD=BCD=45°,

∵∠CMN=90°,CM=MN,

∴∠MCN=45°,

∴∠ACN=ACD+MCN=90°.

∵在RtACN中,点EAN中点,

AE=CE=AN.

AE=CE,AB=CB,

∴点B,EAC的垂直平分线上,

BE垂直平分AC,

BEAC.

(2)BE=AD+CN.

证明:∵AB=BC,ABE=CBE,

AF=FC.

∵点EAN中点,

AE=EN,

FEACN的中位线.

FE=CN.

BEAC,

∴∠BFC=90°,

∴∠FBC+FCB=90°.

∵∠FCB=45°,

∴∠FBC=45°,

∴∠FCB=FBC,

BF=CF.

RtBCF中,BF2+CF2=BC2

BF=BC.

∵四边形ABCD是正方形,

BC=AD,

BF=AD.

BE=BF+FE,

BE=AD+CN.

(3)在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中,线段EN所扫过的图形为四边形DFCN.

∵∠BDC=45°,DCN=45°,

BDCN,

∴四边形DFCN为梯形.

AB=1,

CF=DF=BD=,CN=CD=

S梯形DFCN=(DF+CN)CF=+)×=

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