Question

20．如图，已知AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连接PB，AB，OB，且∠PBA=∠ACB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若AP=BP，且OP=8，⊙O的半径是2$\sqrt{2}$，求△OAP的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明PB是切线，只要证明∠PBO=90°即可．
（2）先证明△POB≌△POA，推出∠PAO=∠PBO=90°，推出PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{14}$，根据S_△POA=$\frac{1}{2}$•OA•PA计算即可．

解答 解：（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠PBA=∠ACB，
∴∠PBA=∠OBC，
∵∠OBA+∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠PBA=90°，
∴∠PBO=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．

（2）在△POB和△POA中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△POA，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{14}$，
∴S_△POA=$\frac{1}{2}$•OA•PA=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{14}$=4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查切线的性质、圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题中考常考题型．