Question

【题目】小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1，已知∠AOB=30°与线段a，你能作出边长为a的等边三角形△COD吗？小明的做法是：如图2，以O为圆心，线段a为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，在弧MN上任取一点P，以点M为圆心，MP为半径画弧，交弧CD于点C，同理以点N为圆心，N P为半径画弧，交弧CD于点D，连结CD，即△COD就是所求的等边三角形．
（1）请写出小明这种做法的理由；
（2）在此基础上请你作如下操作和探究（如图3）：连结MN，MN是否平行于CD？为什么？
（3）点P在什么位置时，MN∥CD？请用小明的作图方法在图1中作出图形（不写作法，保留作图痕迹）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图2，连结OP，

由题意可得 = ，

∴∠COM=∠POM， = ，

∴∠PON=∠DON，

∴∠POM+∠PON=∠COM+∠DON=30°，

∴∠COD=2∠MON=60°，

∴△OCD是等边三角形；

（2）解：不一定，只有当∠COM=15°，CD∥MN，

理由：∵∠COM=15°，∠MON=30°，

∴∠CON=45°，

∵∠C=60°，

∴∠OEC=75°，

∵ON=OM，

∴∠ONM=∠OMN=75°，

∴∠OEC=∠ONM，

∴CD∥MN

（3）解：当P是 的中点时，MN∥CD；如图3所示．

【解析】（1）如图2，连结OP，由题意可得 = ， = ，于是得到∠COM=∠POM，∠PON=∠DON，由已知条件得到∠COD=2∠MON=60°，于是得到结论；（2）根据他在他家得到∠CON=45°，得到∠OEC=75°，根据等腰三角形的性质得到∠ONM=∠OMN=75°，求得∠OEC=∠ONM，根据平行线的判定定理即可得到结论；（3）当P是 的中点时，MN∥CD；根据题意作出图形即可．
【考点精析】通过灵活运用平行线的判定与性质和等边三角形的判定，掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形即可以解答此题．