【题目】【新知理解】
如图①,点C在线段AB上,图中共有三条线段AB、AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍,则称点C是线段AB的“巧点”.
线段的中点__________这条线段的“巧点”;(填“是”或“不是”).
若AB = 12cm,点C是线段AB的巧点,则AC=___________cm;
【解决问题】
(3) 如图②,已知AB=12cm.动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动:点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动,点P、Q同时出发,当其中一点到达终点时,运动停止,设移动的时间为t(s).当t为何值时,A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点?说明理由
【答案】(1)是;(2)4或6或8;(3)详见解析.
【解析】试题分析:(1)由“巧点”定义即可判断;
(2)分BC=2AC、BC=AC、BC=AC三种情况讨论即可;
(3)分P为A、Q的巧点时和Q为A、P的巧点时两种情况讨论即可.
试题解析:(1)
是 ;
(2)①如图:
当BC=2AC时,AC=×12=4cm;
②如图:
当BC=AC时,AC=×12=6cm;
③如图:
当BC=AC时,AC=×12=8cm;
故BC长为4cm或6cm或8cm;
4或6或8;
(3)t秒后,AP=2t,AQ=12-2t()
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点,此情况排除;
②当P为A、Q的巧点时,
Ⅰ. AP=AQ 即 得s
Ⅱ. AP=AQ即 得s
Ⅲ. AP=AQ即 得s
③当Q为A、P的巧点时
Ⅰ. AQ=AP 即 得
Ⅱ. AQ=AP即 得s
Ⅲ. AQ=AP即 得s
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,经过点A作AE⊥OC,垂足为点D,AE与BC交于点F,与过点B的直线交于点E,且EB=EF.
(1)求证:BE是⊙O的切线;
(2)若CD=1,cos∠AEB= ,求BE的长.
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【题目】对某班学生的一次数学成绩进行统计,各分数段的人数如图所示,根据图示信息填空:
(1)该班有学生________人;
(2)成绩在69.5~79.5之间的人数为________人;
(3)79.5分以上的为优秀,该班的优秀率是________.
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【题目】已知,射线BC∥射线OA,∠C=∠BAO=100°,试回答下列问题:
(1)如图①,求证:OC∥AB;
(2)若点E、F在线段BC上,且满足∠EOB=∠AOB,并且OF平分∠BOC,
①如图②,若∠AOB=30°,则∠EOF的度数等于多少(直接写出答案即可);
②若平行移动AB,当∠BOC=6∠EOF时,求∠ABO.
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【题目】小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收,采摘上市20天全部销售完,小明对销售情况进行跟踪记录,并将记录情况绘成图象,日销售量y(单位:千克)与上市时间x(单位:天)的函数关系如图1所示,樱桃价格z(单位:元/千克)与上市时间x(单位:天)的函数关系式如图2所示.
(1)观察图象,直接写出日销售量的最大值;
(2)求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式;
(3)试比较第10天与第12天的销售金额哪天多?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作⊙O的切线DF,交AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为4,∠CDF=22.5°,求阴影部分的面积.
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【题目】如图1,在边长为4的正△ABC中,点P以每秒1cm的速度从点A出发,沿折线AB﹣BC运动,到点C停止.过点P作PD⊥AC,垂足为D,PD的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示.当点P运动5.5秒时,PD的长是( )
A.cm
B.cm
C.2 cm
D.3 cm
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【题目】小明在“课外新世界”中遇到这样一道题:如图1,已知∠AOB=30°与线段a,你能作出边长为a的等边三角形△COD吗?小明的做法是:如图2,以O为圆心,线段a为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N,在弧MN上任取一点P,以点M为圆心,MP为半径画弧,交弧CD于点C,同理以点N为圆心,N P为半径画弧,交弧CD于点D,连结CD,即△COD就是所求的等边三角形.
(1)请写出小明这种做法的理由;
(2)在此基础上请你作如下操作和探究(如图3):连结MN,MN是否平行于CD?为什么?
(3)点P在什么位置时,MN∥CD?请用小明的作图方法在图1中作出图形(不写作法,保留作图痕迹).
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