Question

已知点A（-6，1），B（-1，5），在x轴上有点C（m，0），在y轴上有点D（0，n），使AB+BD+CD+CA最短．求的值．

Answer 1

解：作点A关于y轴对称点A′，B关于x轴对称点B′，连A′B′交
x轴于C，交y轴于D，如图，
则AB+BD+DC+CA最短．
设直线A′B′解析式y=kx+b（k≠0），
∵A′的坐标为（1，5），B′的坐标为（-6，-1），
∴，
∴解得，
∴y=x+，
令x=0，则y=；令y=0，则x=-，
∴C（-，0），D（0，），
∴m=-，n=，
∴=-．
分析：作点A关于y轴对称点A′，B关于x轴对称点B′，连A′B′交x轴于C，交y轴于D，利用对称得到A′与B′的坐标；并且CA=CA′，DB=DB′，根据两点之间线段最短得到AB+BC+CD+DA最短．设直线A′B′A′的坐标为（1，5），B′的坐标为（-6，-1）代入得到k、b的方程，求出k、b的值，然后求出C、D的坐标得到m、n的值，最后计算．
点评：本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式：先设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），然后把一次函数图象上的两点的坐标分别代入，得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，从而确定一次函数的解析式．也考查了点关于坐标轴对称的坐标特点以及最短路线问题．