如图①．直线y=x-3与x轴.y轴分别交于B.C两点.点A在x轴负半轴上.且OAOC=13．抛物线经过A.B.C三点.点P(m.n)是该抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式,.△PBC是否有最大面积?若有.求出△PBC的最大面积和此时P点的坐标,若没有.请说明理由,(3)D为线段AB中点.连结DP交BC于点E．连结AC.若以B.D.E为顶点的三角形与△ABC相似．直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图①．直线y=x-3与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A在x轴负半轴上，且

．抛物线经过A、B、C三点，点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＜0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接PC、PB（如图①），△PBC是否有最大面积？若有，求出△PBC的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由；
（3）D为线段AB中点，连结DP交BC于点E．连结AC（如图②），若以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．直接写出此时点P的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用交点式求出二次函数解析式即可；
（2）求出△PBC的最大面积，可以联系二次函数的最值问题，分割图形求出即可；
（3）利用①当DE∥AC，则△BDE∽△BAC，②当∠BED=∠BAC，△BDE∽△BCA，进而求出P点坐标．

解答：解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得-3a=-3，
解得a=1．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）如图①所示：
作PF⊥x轴于点F，设△PBC的面积为S，则
S=S_{四边形OCPF}+S_△PFB-S_△OBC
=

（3-n）m+

（3-m）（-n）-

×3×3，
=

，
又∵点P是抛物线上的点，
且m＞0，n＜0
∴n=m²-2m-3（0＜m＜3）
∴S=-

m²+

m
=-

（m-

）²+

∴当m=

时，△PBC的面积最大，最大面积为

，
把x=m=

代入y=x²-2x-3=（

）²-2×

-3=-

，
此时P点坐标为（

，-

）；

（3）分两种情况：
①当DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴

，
∵D为AB中点，
∴E点为BC中点，
∴E（

，-

）
∴设DE所在解析式为：y=kx+b，
∴

k+b=0

k+b=-

，
解得：

k=-3

b=3

，
∴DE所在解析式为：y=-3x+3，
则-3x+3=x²-2x-3，
解得：x₁=2，x₂=-3（不合题意舍去），
∴P₁（2，-3）；
②当∠BED=∠BAC，
∴△BDE∽△BCA，
同理可得出：P₂（

，2-2

），
综上所述：P点坐标为：（2，-3），（

，2-2

）．

点评：此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数最值问题，利用分类讨论得出是解题关键，综合性比较强．

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