Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AC⊥BC．
（1）求证：△ADC∽△BCA；
（2）若AB=9cm，AC=6cm，求梯形ABCD中位线的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,梯形中位线定理

专题：

分析：（1）由条件中的平行可得：∠ACD=∠CAB，根据垂直的定义可得∠ACB=∠D=9°，进而证明：△ADC∽△BCA；
（2）若要求梯形ABCD中位线的长度，只要求出DC的长即可，利用（1）中的结论即可求出CD的长．

解答：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠DAB=90°，AB∥CD，
∴∠ADC=90°
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°=∠D，
∴△ADC∽△BCA，
（2）解：∵△ADC∽△BCA，
∴

CD

AC

=

AC

BA

，
∴CD=

AC×AC

BA

=

6×6

9

=4（cm）．
∴梯形ABCD中位线的长度=

1

2

（AB+CD）=6.5cm．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．