Question

9．如图，已知正方形ABCD，AB=8，AD=4，E为CD边上一点，CE=5．
（1）求AE的长．
（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质求出∠D=90°，AB=CD=8，求出DE后根据勾股定理求出AE即可；
（2）过E作EM⊥AB于M，过P作PQ⊥CD于Q，求出AM=DE=3，当EP=EA时，AP=2DE=6，即可求出t；当AP=AE=5时，求出BP=3，即可求出t；当PE=PA时，则x²=（x-3）²+4²，求出x，即可求出t．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，AB=CD=8，
∵CE=5，
∴DE=3，
在Rt△ADE中，∠D=90°，AD=4，DE=3，由勾股定理得：AE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；

（2）过E作EM⊥AB于M，过P作PQ⊥CD于Q，

则AM=DE=3，
若△PAE是等腰三角形，则有三种可能：
当EP=EA时，AP=2DE=6，
所以t=$\frac{8-6}{1}$=2；
当AP=AE=5时，BP=8-5=3，
所以t=3÷1=3；
当PE=PA时，设PA=PE=x，BP=8-x，则EQ=5-（8-x）=x-3，
则x²=（x-3）²+4²，
解得：x=$\frac{25}{6}$，
则t=（8-$\frac{25}{6}$）÷1=$\frac{23}{6}$，
综上所述t=3或2或$\frac{23}{6}$时，△PAE为等腰三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．