Question

19．已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB=8，AC=4，则AE=6．

Answer 1

分析 首先连接PB，PC，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE=PF，PB=PC，继而证得△PBE≌△PCF，AE=AF，又由AB=8，AC=4，即可求得答案．

解答 解：连接PB，PC，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴PB=PC，
∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE=PF，∠PEB=∠PFC=90°，
∴∠APE=∠APF，
∴AE=AF，
在Rt△PBE和Rt△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），
∴BE=CF，
∵AB=AE+BE，AF=AC+CF，
∴AB=AC+CF+BE，
∵AB=8，AC=4，
∴BE=CF=2，
∴AE=AC+CF=6．
故答案为：6．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．