Question

14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x²-12x+36=0的两根，BC=4$\sqrt{5}$，∠BAC=45°．
（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点B，求k的值；
（3）在y轴负半轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用因式分解法求出一元二次方程x²-12x+36=0的两根即可求出点A和点B的坐标；
（2）过点B作BE⊥AC，垂足为E，设BE=x，求出CE，利用AE+CE=OA+OC列出x的方程，求出x的值，进而求出点B坐标，即可求出k的值；
（3）若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，则$\frac{PD}{OA}$=$\frac{DB}{OP}$，即$\frac{OP+8}{6}$=$\frac{2}{OP}$，解方程求出OP的值即可．

解答 解：（1）解一元二次方程x²-12x+36=0，解得：x₁=x₂=6，
∴OA=OC=6，
∴A（-6，0），C（6，0）；

（2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵∠BAC=45°，
∴AE=BE，
设BE=x，
∵BC=4$\sqrt{5}$，
∴CE=$\sqrt{80-{x}^{2}}$，
∵AE+CE=OA+OC，
∴x+$\sqrt{80-{x}^{2}}$=12，
整理得：x²-12x+32=0，
解得：x₁=4（不合题意舍去），x₂=8
∴BE=8，OE=8-6=2，
∴B（2，8），
把B（2，8）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=16．

（3）存在．
如图2，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则$\frac{PD}{OA}$=$\frac{DB}{OP}$，
即$\frac{OP+8}{6}$=$\frac{2}{OP}$，
解得：OP=-4+2$\sqrt{7}$或-4-2$\sqrt{7}$，
则P点坐标为（0，-2$\sqrt{7}$-4）或（0，-4+2$\sqrt{7}$）（不合题意舍去）．
故点P的坐标为：（0，-2$\sqrt{7}$-4）．

点评 本题主要考查了反比例函数综合题，此题涉及到因式分解法解一元二次方程、勾股定理、反比例函数的性质以及相似三角形的判断与性质等知识，解答本题（2）问的关键是求出点B的坐标，解答（3）问的关键是利用△PDB∽△AOP列出关于OP的等式，此题难度一般．