Question

【题目】如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 的图象交于点A（﹣4，m），且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数y2= 的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B

（1）求m的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）根据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（﹣4，m）的坐标代入y2= ，

则m= =﹣1，

得m=﹣1；

（2）

解：连接CB，CD，

∵⊙C与x轴，y轴相切于点D，B，

∴∠CBO=∠CDO=90°=∠BOD，BC=CD，

∴四边形BODC是正方形，

∴BO=OD=DC=CB，

∴设C（a，a）代入y2= 得：a2=4，

∵a＞0，∴a=2，

∴C（2，2），B（0，2），

把A（﹣4，﹣1）和（0，2）的坐标代入y1=kx+b中，

得： ，

解得： ，

∴一次函数的表达式为：y1= x+2；

（3）

解：∵A（﹣4，﹣1），

∴当y1＜y2＜0时，x的取值范围是：x＜﹣4．

【解析】（1）直接将A点代入反比例函数解析式求出答案；（2）直接利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C，B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用A点坐标结合函数图象得出x的取值范围．此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确求出C，B点坐标是解题关键．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．