Question

5．如图，MA⊥AB于A，NB⊥AB于B，点O是AB的中点，点D是BN上一点，且BD=AO，点C是AM上一点，∠COD=α．
（1）如图1，若AC=AO，则OC与OD的数量关系为OC=OD，
    α=90°；
（2）在（1）的条件下，若点P为BN上一点，连接OP，将线段OP以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OQ，连接CQ，在图2中补全图形．请猜想CQ与DP的数量关系，并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，若∠OQC=30°，OC=$\sqrt{2}a$，则CQ=（$\sqrt{3}$-1）a（用含α的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据题意和三角形全等的判定证明△CAO≌△DBO，根据全等三角形的性质得到答案；
（2）证明△QOC≌△POD，即可得到CQ=DP；
（3）根据△QOC≌△POD，求出PD的长，即可得到CQ的长．

解答 解：（1）∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
又∵BD=AO，
∴BD=BO，
∴∠DOB=∠BDO=45°，
又∵AC=AO，
∴AC=BD，
在△CAO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠A=∠B}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△CAO≌△DBO，
∴OC=OD，∠COA=∠BOD=45°，
∴∠COD=α=90°；
（2）如图2，
∵∠COD=∠POQ=90°，
∴∠QOC=∠POD，
在△QOC和△POD中，
$\left\{\begin{array}{l}{QO=PO}\\{∠QOC=∠POD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△QOC≌△POD，
∴CQ=DP；
（3）∵OD=OC=$\sqrt{2}a$，△BOD是等腰直角三角形，
∴BD=OB=a，
∵∠OPD=∠OQC=30°，
∴BP=$\sqrt{3}$a，
则PD=$\sqrt{3}$a-a，
∴CQ=PD=（$\sqrt{3}$-1）a．

点评 本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，理解旋转方向、旋转角和旋转中心的概念、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．