Question

3．在?ABCD中，∠ABC=30°，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，已知BE=$\sqrt{3}$，CF=1，则AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 或2．

Answer 1

分析 分两种情形：①如图1中，当F在线段CD上时．②当F在线段DC的延长线上时，分别求解即可．

解答 解：①如图1中，当F在线段CD上时．

在Rt△ABE中，∵∠B=30°，BE=$\sqrt{3}$，∠AEB=90°，
∴AE=1，AB=2，
∵CF=1，AB=CD=2，
∴DF=CF=1，
∵AF⊥CD，
∴AC=AD，
在Rt△ADF中，∠D=30°，cos30°=$\frac{DF}{AD}$，
∴AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
②当F在线段DC的延长线上时，

在Rt△ABE中，∵∠B=30°，BE=$\sqrt{3}$，∠AEB=90°，
∴AE=1，AB=2，
∵CF=1，AB=CD=2，
∴DF=3，
∵AF⊥CD，∠D=∠B=30°，
∴AD=BC=2$\sqrt{3}$，
∴BE=EC，
∵AE⊥BC，
∴AC=AB=2，
故答案为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或2

点评 本题看平行四边形的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，则有一题多解，属于中考填空题中的压轴题．