Question

如图，矩形ABCD的顶点A坐标为（0，0），顶点B的坐标是（-2，1），顶点C在y轴上．
（1）求点D的坐标；
（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF与AD交于点H．过点H的反比例函数图象交FG于点I．求△AHI的面积；
（3）小明猜想△AHI是一个直角三角形，他的猜想对吗？请谈谈你的看法．

Answer 1

分析：（1）点B，D到y轴的距离相等，因而两点的横坐标一定互为相反数，即D的横坐标是2，并且易证△OBP∽△DAQ，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出D点的纵坐标．
（2）根据OE=OB，就可以得到E点的纵坐标，即H的纵坐标．H又在直线CD上，CD的解析式易求得，则H的坐标就可以求出．根据待定系数法就可以求出反比例函数的解析式，进而求出点I的坐标．
（3）中的问题，先验证△AHI是一个直角三角形，可以根据点的坐标求出三角形的三边的长，判断是否是直角三角形，若是，面积就可以求出．

解答：解：（1）过B，D作△ABC和△ACD的高BM，DN，
在△ABC和△ACD中，

AB=CD AC=AC BC=AD

，
∴△ABC≌△ACD，
∴BM=DN=2，
过点B，D作x轴的垂线BP，DQ，则OP=AQ=2．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAQ=90°，
又∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠ADQ，
∴△OBP∽△DAQ，
∴

BP

AQ

=

OP

DQ

，
即

1

2

=

2

DQ

，
∴DQ=4，
则D的坐标是（2，4）．

（2）（3）设直线OD的解析式是y=kx，把（2，4）代入解得k=2，
因而函数解析式是y=2x，
在直角△OBP中，根据勾股定理得到OB=

5

，
∴OE=OB=

5

，
即H点的纵坐标是

5

，
把y=

5

代入y=2x，得到x=

5

2

，
则H点的坐标是（

5

2

，

5

），
设反比例函数的解析式是y=

k

x

，把H点的坐标（

5

2

，

5

）代入解得k=

5

2

，
则解析式是y=

5

2x

，
在直角△ADQ中，根据勾股定理得到OD=

OQ2+DQ2

=2

5

，
∴OG=OD=2

5

，
则I点的横坐标是2

5

，
把x=2

5

代入解析式得到y=

5

4

，
则I点的坐标是（2

5

，

5

4

），
∴OH²=

25

4

，OI²=

325

16

HI²=

225

16

，
∵

25

4

+

225

16

=

325

16

，
即AH²+HI²=AI²，
∴△AHI是一个直角三角形，
∴△AHI的面积是

25 4

•

225 16

÷2=

75

16

．

点评：本题是一个函数与矩形相结合的题目，正确的审题，先证明三角形是直角三角形可以简化计算过程．