【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,点P在BC上.若点P为BC的中点,则m=AP2+BPPC的值为多少?若BC边上有100个不同的点P1,P2,…,P100,且mi=APi2+BPiPiC(i=1,2,…,100),则m=m1+m2+…+m100 的值为多少?
【答案】4,400.
【解析】
第一个空,由等腰三角形的三线合一性质和勾股定理得出AP2+BP2=AB2即可;第二个空,作AD⊥BC于D.根据勾股定理,得APi2=AD2+DPi2=AD2+(BD﹣BPi)2=AD2+BD2﹣2BDBPi+BPi2,PiBPiC=PiB(BC﹣PiB)=2BDBPi﹣BPi2,从而求得m1=AD2+BD2=AB2,即可求解.
解:若点P为BC的中点,如图1所示:
AB=AC=2,
∴AP⊥BC,BP=CP,
∴∠APB=90°,
∴AP2+BPPC=AP2+BP2=AB2=4.
若BC边上有100个不同的点P1,P2,…,P100,
作AD⊥BC于D,则BC=2BD=2CD,如图2所示.
根据勾股定理,得
APi2=AD2+DPi2=AD2+(BD﹣BPi)2=AD2+BD2﹣2BDBPi+BPi2,
又∵PiBPiC=PiB(BC﹣PiB)=2BDBPi﹣BPi2,
∴m1=AD2+BD2=AB2=4,
∴m1+m2+…+m100=4×100=400.
故答案为:4,400.
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【题目】如图是某地区一条公路隧道入口在平面直角坐标系中的示意图,点A和A1、点B和B1分别关于y轴对称.隧道拱部分BCB1为一段抛物线,最高点C离路面AA1的距离为8 m,点B离路面AA1的距离为6 m,隧道宽AA1为16 m.
(1)求隧道拱部分BCB1对应的函数表达式.
(2)现有一大型货车,装载某大型设备后,宽为4 m,装载设备的顶部离路面均为7 m,问:它能否安全通过这个隧道?并说明理由.
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【题目】如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一平面上).求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离.
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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A(﹣1,0),B(4,0),C
(0,﹣4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点.
(1) 求这个二次函数的解析式;
(2) 是否存在点 P,使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 在抛物线上是否存在点 D(与点 A 不重合)使得 S△DBC=S△ABC,若存在,求出点 D的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与直线y=x﹣3交于点A(3,0)和点B(﹣2,n),与y轴交于点C.
(1)求出抛物线的函数表达式;
(2)在图1中,平移线段AC,点A、C的对应点分别为M、N,当N点落在线段AB上时,M点也恰好在抛物线上,求此时点M的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P(不与点A重合),使△PMC的面积与△AMC的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某数学兴趣小组的同学在一次活动中,为了测量某建筑物AB的高,他们来到另一建筑物CD上的点C处进行观察,如图所示,他们测得建筑物AB顶部A的仰角为30°,底部B的俯角为45°,已知建筑物AB、CD的距离DB为12m,求建筑物AB的高.
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【题目】如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于点F.
(1)图中△APD与哪个三角形全等:_____.
(2)猜想:线段PC、PE、PF之间存在什么关系:_____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.
(1)如图1,当点P在线段BC上时,试猜想写出线段CP与BQ的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?(直接写“成立”或“不成立”即可,不需证明).
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【题目】某粮库需要把晾晒场上的1200t玉米入库封存.
(Ⅰ)入库所需要的时间d(单位:天)与入库平均速度v(单位:t/天)的函数解析式为_____.
(Ⅱ)已知粮库有职工60名,每天最多可入库300t玉米,预计玉米入库最快可在_____天内完成.
(Ⅲ)粮库职工连续工作两天后,天气预报说未来几天会下雨,粮库决定次日把剩下的玉米全部入库,至少需要增加_____名职工.
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