Question

如图，抛物线y=ax²-2ax+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，4）．
（1）求a、c的值；
（2）将上述抛物线向右平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，当四边形A A′B′B为菱形时，求平移后的抛物线的函数关系式；
（3）连接A′B，设点P是线段A′B上的一个动点，连接OP、AP，求当△AOP的周长取最小值时BP的长．

Answer 1

解：（1）由题意得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
即
∴a=，c=4

（2）∵四边形A A′B′B为菱形
∴AA′=A′B′=B′B=BA，由勾股定理得，
AB=5
∴抛物线向右平移了5个单位
∴平移后抛物线的解析式为：

（3）连接A′B，作点O关于A′B的对称点O′交A′B于点C，连接O′A交A′B于点P．
设直线A′B的解析式为：y=kx+b，得
解得：
∴直线A′B的解析式为：
在直角三角形A′OB中，由勾股定理得
A′B=4，由三角形面积公式得OC=，设点C（x，）
由勾股定理得：C（），利用三角形的中位线定理求得
O′（）
设O′A的解析式为y=kx+b，得
解得

∴O′A的解析式为：y=32x-96
∴O′A与直线A′B的交点坐标为：P（）
由两点间的距离公式得，PB=．
分析：（1）要求a、c的值需要运用待定系数法将点A、B的坐标代入解析式就可．
（2∵平移后为菱形，先要根据勾股定理AB的长，就可以判断需要平移的单位数，然后将原解析式化为顶点式，写出新解析式就可以了．
（3）要求△APO周长最小时PB的长，实际上轴对称问题，找到O点关于A′B的对称点O′，求出该点的坐标，然后求出O'A的解析式，再求出P点的坐标，利用距离公式求出PB的长．
点评：本题是一道二次函数综合题，考查了用待定系数法求系数的值，图象的平移以及抛物线顶点式的运用，菱形的性质，轴对称的性质，直线的交点坐标．综合性较强，难度较大．