Question

【题目】一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边．

（1）求点的坐标；

（2）在第二象限内有一点，使，求点的坐标；

（3）将沿着直线翻折，点落在点处；再将绕点顺时针方向旋转15°，点落在点处，过点作轴于．求的面积．

Answer 1

【答案】（1）C（-2，4）；（2）M（-5，1）；（3）2.

【解析】

（1）先求得A、B的坐标，勾股定理求出AB后可得到∠BAO=30°，则∠CAO=90°，从而可得到点C的坐标；
（2）过点C作CM∥AB，则S△ABM=S△ABC．设直线CM的解析式为，将点C的坐标代入求得b的值，然后将y=1代入MC的解析式可求得点M的横坐标；
（3）先判断出折叠后点C落在y轴上，即E在y轴上.在EG上取一点H，使EH=FH，连接FH.先求出∠FHG=30°，设FG=a，进而表示出EG，用勾股定理建立方程求出a2，最后用面积公式即可得出结论．

解：（1）当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=-2 ，

∴A（-2，0）．
∴OB=2，OA=2，

∴AB=4，

∴∠BAO=30°，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，AC= AB=4．
∴∠CAO=90°．
∴C（-2，4）．

（2）如图1，过点C作CM∥AB．

∵CM∥AB，
∴S△ABM=S△ABC．
设直线CM的解析式为，

将点C的坐标代入得，

解得b=6．
∴直线CM的解析式为，

将y=1代入MC的解析式得：，

解得：x=-5

∴M（-5，1）．

（3）如图2，

由（1）知A（-2，0），B（0，2），
∵△ABC为等边三角形，AB=4，
∴∠CBA=60°，BC=AB=4，

又∠ABO=60°，

∴折叠后点C落在y轴上，即E在y轴上
由折叠知，BE=BC=4，
由旋转知，EF=BE=4，∠BEF=15°，
在EG上取一点H，使EH=FH，连接FH，
∴∠FHG=30°，
设FG=a，
∴HG=a，FH=2a，
∴EH=2a，
∴EG=EH+HG=2a+a=（2+）a，
在Rt△EFG中，根据勾股定理得，a2+[（2+）a]2=16，
∴a2== ，

∴S△EFG EG×FG

=（2+）a×a

=

=2.