【题目】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为 (-1,0).如图17所示,B点在抛物线图象上,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,且B点横坐标为-3.
(1)求证:△BDC≌△COA;
(2)求BC所在直线的函数关系式;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)(3)存在,P1(, )、P2(,)
【解析】
(1)由等腰直角三角形的性质,平角定义,直角三角形两锐角的关系,可由AAS证得。
(2)求出点B的坐标,由点B、C的坐标,用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。
(3)分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。
解:(1)证明:∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠BCD=∠OAC。
∵△ABC为等腰直角三角形 ,∴BC=AC。
在△BDC和△COA中,∠BDC=∠COA=90°,∠BCD=∠OAC,BC=AC,
∴△BDC≌△COA(AAS)。
(2)∵C点坐标为 (-1,0),∴BD=CO=1。
∵B点横坐标为-3,∴B点坐标为 (-3,1)。
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b,
∴,解得。∴BC所在直线的函数关系式为y=-x-。
(3)存在 。
∵y=x2+x-2=(x+)2x-,∴对称轴为直线x=-。
若以AC为直角边,点C为直角顶点,对称轴上有一点P1,使CP1⊥AC,
∵BC⊥AC,∴点P1为直线BC与对轴称直线x=-的交点。
由题意可得:, 解得,。∴P1(-,-)。
若以AC为直角边,点A为直角顶点,对称轴上有一点P2,使AP2⊥AC,
则过点A作A P2∥BC,交对轴称直线x=-于点P2,
∵CD=OA,∴A(0,2)。
设直线AP2的解析式为:y=-x+m,把A(0,2)代入得m=2。
∴直线AP2的解析式为:y=-x+2。
由题意可得:,解得,。∴P2(-,)。
∴P点坐标分别为P1(-,-)、P2(-,)。
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【题目】如图,点O是△ABC的边AB上一点,⊙O与半径AC相切于点E,与边BC、AB分别相交于点D、F,且DE=EF.
⑴求证:∠C=90o;
⑵当BC=2,sinA=时,求AF的长.
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【题目】随着“三农”问题的解决,某农民近两年的年收入发生了明显变化,已知前年和去年的收入分别是60000元和80000元,下面是依据①②③三种农作物每种作物每年的收入占该年年收入的比例绘制的扇形统计图.依据统计图得出的以下四个结论正确的是( )
A. ①的收入去年和前年相同
B. ③的收入所占比例前年的比去年的大
C. 去年②的收入为2.8万
D. 前年年收入不止①②③三种农作物的收入
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【题目】如图,把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中,使OA、OC分别落在x轴,y轴上,连OB,将纸片OABC沿OB折叠,使点A落在A′的位置,若OB=,tan∠BOC=,则点A′的坐标( )
A. (,) B. (﹣,) C. (﹣,) D. (﹣,)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A(1,2)和B(﹣2,m).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)请直接写出y1≥y2时x的取值范围;
(3)过点B作BE∥x轴,AD⊥BE于点D,点C是直线BE上一点,若∠DAC=30°,求点C的坐标.
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【题目】已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
(1)求证:∠DAC=∠DBA;
(2)求证:P是线段AF的中点;
(3)连接CD,若CD﹦3,BD﹦4,求⊙O的半径和DE的长.
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【题目】某商店以40元/千克的进价购进一批茶叶,经调查发现,在一段时间内,销售量 (千克)与销售价 (元/千克)成一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求与之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
(2)若该商店销售这批茶叶的成本不超过2800元,则它的最低销售价应定为多少元?
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【题目】小明要统计小区500户居民每月丢弃塑料袋的数量情况,他随机调查了其中40户居民,按每月丢弃的塑料袋的数量分组进行统计,并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图:
根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布表和频数分布直方图;
(2)这40户家庭每月丢弃塑料袋数的中位数位于第 组;
(3)请你估算该小区每月丢弃塑料袋的数不少于40个的户数大约有 __ 户.
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【题目】《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习,我市某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分,为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列统计图表:
抽取的200名学生海选成绩分组表
组别 | 海选成绩x |
A组 | 50≤x<60 |
B组 | 60≤x<70 |
C组 | 70≤x<80 |
D组 | 80≤x<90 |
E组 | 90≤x≤100 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)请把图1中的条形统计图补充完整;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)
(2)在图2的扇形统计图中,记表示B组人数所占的百分比为a%,则a的值为 ,表示C组扇形的圆心角θ的度数为 度;
(3)规定海选成绩在90分以上(包括90分)记为“优等”,请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人?
(4)经过统计发现,在E组中,有2位男生和2位女生获得了满分,如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛,请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少?
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