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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M,交y轴的正半轴于点N.劣弧的长为,直线与x轴、y轴分别交于点A、B.

(1)求证:直线AB与⊙O相切;

(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用π表示)

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)作OD⊥AB于D,由弧长公式和已知条件求出半径OM=,由直线解析式求出点A和B的坐标,得出OA=3,OB=4,由勾股定理求出AB=5,再由△AOB面积的计算方法求出OD,即可得出结论;

(2)阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积,即可得出结果.

试题解析:(1)证明:作OD⊥AB于D,如图所示:

∵劣弧的长为,∴=,解得:OM=,即⊙O的半径为,∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B,当y=0时,x=3;当x=0时,y=4,∴A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB==5,∵△AOB的面积=ABOD=OAOB,∴OD===半径OM,∴直线AB与⊙O相切;

(2)解:图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积﹣扇形OMN的面积==

练习册系列答案
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(2)归纳证明:如图,点B,C在MAN的边AM、AN上,点E,F在MAN内部的射线AD上,1、2分别是ABE、CAF的外角.已知AB=AC,1=2=BAC. 求证:ABE≌△CAF;

(3)拓展应用:如图,在ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,1=2=BAC.若ABC的面积为15,则ACF与BDE的面积之和为 .

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