Question

14．问题探究：
【1】新知学习
（1）梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
（2）梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
（3）形如分式$\frac{m}{x+2m}$　（m为常数，且m＞0），若x＞0，则$\frac{m}{x+2m}$，并且有下列结论：
当x 逐渐增大时，分母x+2m逐渐增大，分式$\frac{m}{x+2m}$的值逐渐减少并趋于0，但仍大于0．当x 逐渐减少时，分母x+2m逐渐减少，分式$\frac{m}{x+2m}$的值逐渐增大并趋于$\frac{m}{2m}$，即趋于$\frac{1}{2}$，但仍小于$\frac{1}{2}$．
【2】问题解决一
如图2，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）设AD=7，BC=17，求$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$的值．
（2）设AD=a（a为正的常数），BC=x，请问：当BC的长不断增大时，$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$的值能否大于或等于3，试证明你的结论．
【3】问题解决二
进一步猜想：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是什么，并说明理由．

Answer 1

分析 问题解决一
（1）设梯形ADFE的高为h，则梯形BCFE的高为h，证出EF是梯形ABCD的中位线，由梯形中位线定理得出EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=12，由梯形面积公式即可得出答案；
（2）由梯形中位线定理得出EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{1}{2}$（a+x），由（1）得：$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$=$\frac{\frac{1}{2}（a+x）+x}{a+\frac{1}{2}（a+x）}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$，当BC的长x不断增大时，$\frac{a+3x}{3a+x}$的分子a+3x逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3；
问题解决二
由（2）得：$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$＜3，当x 逐渐减少时，分母3a+x逐渐减少，x趋于a，则a+3x趋于4a，3a+x趋于4a，得出$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$的值趋于1，但大于1，即可得出答案．

解答 问题解决一
解：（1）设梯形ADFE的高为h，则梯形BCFE的高为h，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{1}{2}$（7+17）=12，
∴$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$=$\frac{\frac{1}{2}（12+17）•h}{\frac{1}{2}（7+12）•h}$=$\frac{29}{19}$；

（2）当BC的长不断增大时，$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$的值不能大于或等于3；理由如下：
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{1}{2}$（a+x），
由（1）得：$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$=$\frac{\frac{1}{2}（a+x）+x}{a+\frac{1}{2}（a+x）}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$，
当BC的长x不断增大时，$\frac{a+3x}{3a+x}$的分子a+3x逐渐增大并趋于，即趋于3，但仍小于3；
∴当BC的长不断增大时，$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$的值不能大于或等于3；

问题解决二
解：任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3；理由如下：
由（2）得：$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$＜3，当x 逐渐减少时，分母3a+x逐渐减少，x趋于a，
则a+3x趋于4a，3a+x趋于4a，
∴$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$=$\frac{a+3x}{3a+x}$的值趋于1，但大于1，
∴1＜$\frac{{S}_{四边形BCFE}}{{S}_{四边形ADFE}}$＜3，
故任何一个梯形的中位线所分成的两部分图形的面积的比值所在的范围是大于1而小于3．

点评 本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、梯形中位线定理、梯形面积公式、分式的性质等知识；熟练掌握梯形中位线定理是解决问题的关键．