Question

5．抛物线y=-$\frac{4}{9}{x^2}+\frac{8}{3}$x+2与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，当点P的坐标是（$\frac{41}{6}$，0）时，|PA-PB|取得最小值．

Answer 1

分析 根据抛物线的解析式求得A的坐标，顶点B的坐标，设P（x，0），根据当PA=PB是线段PA与PB的差的最小，即可求得最小值和P的坐标．

解答 解：∵抛物线y=-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{8}{3}$x+2与y轴交于点A，
∴A（0，2），
∵y=-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{8}{3}$x+2=-$\frac{4}{9}$（x-3）²+6，
∴顶点B（3，6），
设P（x，0），
当PA=PB是线段PA与PB的差的最小，PA-PB=0，
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA²=x²+2²=x²+4，PB²=（x-3）²+6²，
∴x²+4=（x-3）²+6²，解得：x=$\frac{41}{6}$，
∴当P点坐标为（$\frac{41}{6}$，0）时，|PA-PB|取得最小值．
故答案为：（$\frac{41}{6}$，0）

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质等，理解当PA-PB=0时，线段PA与PB的差的最小是关键．