Question

17．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．
（1）当$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$时，求$\frac{AM}{BN}$的值；
（2）若$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{n}$（n为整数），求$\frac{AM}{BN}$的值（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．由轴对称的性质知BM=EM，BN=EN．又有∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．由$\frac{CE}{CD}$得，CE=DE=1；设BN=x，则NE=x，NC=2-x．在Rt△CNE中，由勾股定理可解得x的值，从而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，有AM²+AB²=DM²+DE²．设AM=y，则可求得y的值，得到AM的值从而得到$\frac{AM}{BN}$．
（2）连接BE，$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{n}$，令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，由勾股定理得x=$\frac{{n}^{2}+1}{2n}$；作MH⊥BC于H，可证得△EBC≌△NMH，由此得NH=1，从而可得$\frac{AM}{BN}$的值．

解答 解：（1）如图1，连接BM，EM，BE．
由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，
设AB=BC=CD=DA=2．
∵$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=DE=1．
设BN=x，则NE=x，NC=2-x．
在Rt△CNE中，NE²=CN²+CE²．
∴x²=（2-x）²+1²，
解得x=$\frac{5}{4}$，即BN=$\frac{5}{4}$．
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，
∴AM²+AB²=DM²+DE²．
设AM=y，则DM=2-y，
∴y²+2²=（2-y）²+1²，
解得y=$\frac{1}{4}$，即AM=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{1}{5}$．
（2）当四边形ABCD为正方形时，连接BE，$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{n}$，
不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，
EN²=NC²+CE²，
x²=（n-x）²+1²，
x=$\frac{{n}^{2}+1}{2n}$；
如图2，作MH⊥BC于H，则MH=BC，
又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；
∵∠NMH+∠BNM=90°，
∴∠EBC=∠NMH，
在△EBC和△NMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠NMH}\\{∠MNH=∠BCE=90°}\\{MH=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，
AM=BH=BN-NH=$\frac{{n}^{2}+1}{2n}$-1=$\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}$，
则：$\frac{AM}{BN}$=$\frac{\frac{{n}^{2}-2n+1}{2n}}{\frac{{n}^{2}+1}{2n}}$=$\frac{{n}^{2}-2n+1}{{n}^{2}+1}$．

点评 本题考查图形的翻折变换，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合应用，由于计算量较大，需要细心求解．