Question

9．某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB，其中AC⊥BC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区⊙M（如图所示），M是OA上一点，⊙M与BC相切，观景台的两端A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米．经测量，OA=60米，OB=170米，tan∠OBC=$\frac{4}{3}$．
（1）求栈道BC的长度； 
（2）当点M位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？

Answer 1

分析 （1）过C点作CE⊥OB于E，过A作AF⊥CE于F，设出AF，然后通过解直角三角形求得CE，进一步得到BE，然后由勾股定理得出答案；
（2）设BC与⊙M相切于Q，延长QM交直线BO于P，设OM=x，把PB、PQ用含有x的代数式不是，再结合观景台的两端A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．

解答 解：（1）如图1，过C点作CE⊥OB于E，过A作AF⊥CE于F，
∵∠ACB=90°∠BEC=90°，
∴∠ACF=∠CBE，
∴tan∠ACF=tan∠OBC=$\frac{4}{3}$，
设AF=4x，则CF=3x，
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x，EF=OA=60，
∴CE=3x+60，
∵tan∠OBC=$\frac{4}{3}$．
∴BE=$\frac{3}{4}$CE=$\frac{9}{4}$x+45，
∴OB=OE+BE=4x+$\frac{9}{4}$x+45，
∴4x+$\frac{9}{4}$x+45=170，
解得：x=20，
∴CE=120（米），BE=90（米），
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=150（米）．
（2）如图2，设BC与⊙M相切于Q，延长QM交直线BO于P，
∵∠POM=∠PQB=90°，
∴∠PMO=∠CBO，
∴tan∠OBC=$\frac{4}{3}$．
∴tan∠PMO=$\frac{4}{3}$．
设OM=x，则OP=$\frac{4}{3}$x，PM=$\frac{5}{3}$x，
∴PB=$\frac{4}{3}$x+170，
在RT△PQB中，tan∠PBQ=$\frac{PQ}{BQ}$=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{4}{5}$，
∴PQ=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{3}$x+170）=$\frac{16}{15}$x+136，
设⊙M的半径为R，
∴R=MQ=$\frac{16}{15}$x+136-$\frac{5}{3}$x=136-$\frac{3}{5}$x，
∵A、O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米，
∴R-AM≥80，R-OM≥80，
∴136-$\frac{3}{5}$x-（60-x）≥80，136-$\frac{3}{5}$x-x≥80，
解得：10≤x≤35，
∴当且仅当x=10时R取最大值，
∴OM=10米时，保护区的面积最大．

点评 本题考查了圆的切线，考查了直线和圆的位置关系，解题的关键在于对题意的理解．