Question

8．在平面直角坐标系中，坐标原点为O，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．若点C在x轴上，且∠CBO=∠CAB，则线段AC的长为3或5．

Answer 1

分析 先求出A、B的坐标，由∠CBO=∠CAB，易证△ABO∽△BCO，则BO²=AO•CO，可求出OC，当点C与点A位于原点同侧时，AC=AO-CO，当点C与点A位于原点异侧时，AC=AO+CO．

解答 解：∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．
∴A（4，0）B（0，2）
∴OA=4，OB=2，
∵∠CBO=∠CAB，∠AOB=∠BOC=90°，
∴△ABO∽△BCO，
∴BO²=AO•CO，
∴4=4OC
∴OC=1，
如图，当点C与点A位于原点同侧时，AC=AO-CO=3，
当点C与点A位于原点异侧时，AC=AO+CO=5．
故答案为：3或5．

点评 本题考查了一次函数点的坐标、相似三角形的判定与性质，意识到点C的位置有两种情况是正确解答的关键．