Question

7．如图，在Rt△ABC中．∠ACB=90°．CD⊥AB于D，若3BC=2AD，求tan∠BCD．

Answer 1

分析 由3BC=2AD，得出$\frac{BC}{AD}$=$\frac{2}{3}$，所以可设BC=2k，则AD=3k，再证明∠BCD=∠A，那么$\frac{BD}{2k}$=$\frac{2k}{BD+3k}$，求出BD=k，然后在Rt△BCD中，利用勾股定理求出CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$k，再根据正切函数的定义即可求解．

解答 解：∵3BC=2AD，
∴$\frac{BC}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴可设BC=2k，则AD=3k，显然k＞0．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠BCD=∠A=90°-∠B，
∴sin∠BCD=sin∠A，
∴$\frac{BD}{2k}$=$\frac{2k}{BD+3k}$，
∴BD²+3kBD-4k²=0，
解得BD=k，或BD=-4k（不合题意舍去）．
在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BC=2k，BD=k，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$k，
∴tan∠BCD=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{k}{\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，比例的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，根据已知条件设BC=2k，再求出BD=k是解题的关键．