Question

12．如图，一次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b的图象与x轴相交于点A（5$\sqrt{3}$，0），与y轴相交于点B
（1）求点B的坐标及∠ABO的度数；
（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，利用三角形函数求得∠ABO的度数；
（2）四边形ABCD是直角梯形，分类讨论①CD⊥AD，AB是底边时，②AD∥BC，CD⊥AD时．

解答 解：（1）把（5$\sqrt{3}$，0）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b得5+b=0，
解得：b=-5，
则函数的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-5，
当x=0时，y=-5，则OB=5，B的坐标是（0，-5），
sin∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{5\sqrt{3}}{5}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABO=60°；
（2）四边形ABCD是直角梯形，
①CD⊥AD，AB是底边．
设过A且与AB垂直的直线的解析式是y=-$\sqrt{3}$x+c，
把（5$\sqrt{3}$，0）代入得：-15+c=0，
解得：c=15，
则直线解析式是y=-$\sqrt{3}$x+15，
过C与AB平行的直线解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
则根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+3}\\{y=-\sqrt{3}x+15}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}}\\{y=6}\end{array}\right.$，
则D的坐标是（3$\sqrt{3}$，6）
②AD∥BC，CD⊥AD时，由于A（5$\sqrt{3}$，0），C（0，3），则可知D（5$\sqrt{3}$，3）．
综上D（3$\sqrt{3}$，6）或（5$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确确定D点的位置，是过A且与直线AB垂直的直线，与过C平行AB的直线，两直线的交点是关键．