Question

18．△ABC的三边长分别为AB=1，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{5}$，求∠ACB的正弦值．

Answer 1

分析 根据勾股定理，可得方程，根据解方程，可得CD的长，再根据勾股定理，可得BD的长，根据三角函数的正弦，可得答案．

解答 解：如图，过B作BD⊥AC于D．
设CD=x，则AD=$\sqrt{5}$-x．
∵在Rt△BCD中，BD²=BC²-CD²=2-x²，
在Rt△BAD中，BD²=AB²-AD²=1-（$\sqrt{5}$-x）²，
2-x²=1-（$\sqrt{5}$-x）²，
解得x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
BD=$\sqrt{2-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
sin∠ACB=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了解直角三角形，利用勾股定理得出CD的长是解题关键，由利用了锐角三角形的正弦值．