Question

18．如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP=4，求△ABP的周长．
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．
（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D=5．（请直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）先在Rt△ABP中，利用勾股定理求得AP的长，再计算△APB的周长；
（2）先延长线段AP、DC交于点E，运用ASA判定△DPA≌△DPE，再运用AAS判定△APB≌△EPC，即可得出结论；
（3）先连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，根据轴对称的性质，得出△ABP为等腰直角三角形，并判定四边形B'PCF是矩形，求得B'F=4，DF=3，最后在Rt△B'FD中，根据勾股定理求得B'D的长度．

解答 解：（1）如图1，∵AB⊥BC，
∴∠ABP=90°，
∴AP²=AB²+BP²，
∴AP=$\sqrt{A{B^2}+B{P^2}}$=$\sqrt{{1^2}+{4^2}}$=$\sqrt{17}$，
∴AP+AB+BP=$\sqrt{17}$+1+4=$\sqrt{17}$+5
∴△APB的周长为$\sqrt{17}$+5；

（2）PB=PC，
理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．
在△DPA和△DPE中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDP}\\{DP=DP}\\{∠DPA=∠DPE}\end{array}}\right.$，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA=PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．
在△APB和△EPC中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠ABP=∠ECP}\\{∠APB=∠EPC}\\{PA=PE}\end{array}}\right.$，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB=PC；

（3）如图，连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，则∠B'FC=∠C=90°，
∵△PDC是等腰三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC=45°，
又∵DP⊥AP，
∴∠APB=45°，
∵点B关于AP的对称点为点B′，
∴∠BPB'=90°，∠APB=45°，BP=B'P，
∴△ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形，
∴BP=AB=1=B'P，PC=5=1=4=B'F，CF=B'P=1，
∴B'F=4，DF=4-1=3，
∴Rt△B'FD中，B'D=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
故答案为：5．

点评 本题以动点问题为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及灵活运用勾股定理计算线段的长度．