Question

3．已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-1与x轴正半轴交于C点，顶点为D点．
（1）求点C，D的坐标；
（2）如图1，过O点任作直线交抛物线于A、B，过B点作BE⊥x轴于E，求OB-BE的值；
（3）如图2，过P（0，-2）作直线交y轴右端的抛物线于M、N，若PM=PN，求直线MN的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解方程可得点C坐标，利用配方法可得点D坐标．
（2）设B（m，$\frac{1}{4}$m²-1），求出OB、BE（用m的代数式表示）即可解决问题．
（3）如图2中，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F．由PM=MN，可以假设M（m，$\frac{1}{4}$m²-1），N（2m，m²-1），由ME∥NF，得到$\frac{ME}{NF}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$，列出方程求出m，求出点M坐标，利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-1，令y=0，得$\frac{1}{4}$x²-1=0，解得x=±2，
∴点C坐标（2，0），抛物线顶点D坐标（0，-1）．

（2）设B（m，$\frac{1}{4}$m²-1），
则OB=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{m}^{4}+\frac{1}{2}{m}^{2}+1}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∵BE⊥x轴于E，
∴BE=$\frac{1}{4}$m²-1，
∴OB-BE=$\frac{1}{4}$m²+1-（$\frac{1}{4}$m²-1）=2．

（3）如图2中，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F．

∵PM=MN，
∴可以假设M（m，$\frac{1}{4}$m²-1），N（2m，m²-1），
∵ME∥NF，
∴$\frac{ME}{NF}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1+\frac{1}{4}{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$，
∴M（$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$），
设直线MN的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{\sqrt{2}k+b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3\sqrt{2}}{4}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线MN的解析式为y=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x-2．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、勾股定理．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．