Question

15．如图，Rt△ABC内接于⊙O，点E为弧BC中点，AD平分∠BAC交BC于D，连接AD、DE．
（1）求证：∠ADB=∠CDE；
（2）AC交DE于H，且∠DHC=90°，连接BE分别交AD、AC于M、N，求证：BM=EN．
（3）在（1）的条件下，连接BE交AD于M，连接CM交DE于K，若CM⊥DE，若BD=2$\sqrt{10}$，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长AD交⊙O于F，连接OF．首先证明E、O、F共线，再证明∠EDO=∠FDO，由∠ADB=∠FDO即可证明．
（2）如图2中，连接AE，想办法证明△BAM≌△EAN即可解决问题．
（3）如图3中，连接AE、EC、BF．首先证明△EOD≌△COH，推出△BDM≌△EHM，BM=EM，再证明△BDM∽△CDE，推出$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BM}{EC}$=$\frac{1}{2}$，求出CD，再由△FMB∽△EMA，
推出$\frac{BM}{BF}$=$\frac{AM}{AE}$=$\frac{1}{2}$，设AM=a，则AE=2a，EM=BM=$\sqrt{5}$a，BF=2$\sqrt{5}$a，FM=5a，在Rt△AFE中，根据AF²+AE²=EF²列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，延长AD交⊙O于F，连接OF．

∵FA平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CF}$，
∴OF⊥BC，
∵$\widehat{BE}$=$\widehat{EC}$，
∴EO⊥BC，
∴E、O、F共线，
∴DO垂直平分线段EF，
∴DE=DF，
∴∠ODE=∠ODF，
∵∠ADB=∠ODF，
∴∠ADB=∠CDE．

（2）证明：如图2中，连接AE．

∵AC⊥DE，
∴∠DHC=90°=∠DOE=90°，
∴∠C+∠CDH=90°，∠CDH+∠DEO=90°，
∴∠C=∠DEO=∠F，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AE}$，
∴∠ABM=∠AEN，AB=AE，
∵∠BAM=$\frac{1}{2}$∠BOF=45°，∠EAN=$\frac{1}{2}$∠EOC=45°，
∴∠BAM=∠EAN，
∴△BAM≌△EAN，
∴BM=EN．

（3）解：如图3中，连接AE、EC、BF．

∵CM⊥DE，
∴∠CKD=90°=∠EOD，
∴∠DEO+∠EDO=90°，∠EDO+∠HCO=90°，
∵EO=CO，∠EOD=∠COH=90°，
∴△EOD≌△COH，
∴OD=OH，∠EDO=∠CHO=∠EHK=∠ADB，∵OB=OE，
∴BD=EH，∵∠DBM=∠HEM=45°，
∴△BDM≌△EHM，
∴BM=EM，
∵EB=EC，
∴EC=2BM，
∵∠DBM=∠ECD=45°，∠MDB=∠EDC，
∴△BDM∽△CDE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BM}{EC}$=$\frac{1}{2}$，∵BD=2$\sqrt{10}$，
∴CD=4$\sqrt{10}$，
∴BC=EF=6$\sqrt{10}$，
∵∠FBM=∠MAE=90°，∠FMB=AME，
∴△FMB∽△EMA，
∴$\frac{BM}{BF}$=$\frac{AM}{AE}$，
∵BF=BE=2BM，
∴$\frac{BM}{BF}$=$\frac{AM}{AE}$=$\frac{1}{2}$，设AM=a，则AE=2a，EM=BM=$\sqrt{5}$a，BF=2$\sqrt{5}$a，FM=5a，
∴AF=6a，
在Rt△AFE中，∵AF²+AE²=EF²，
∴（6a）²+（2a）²=（6$\sqrt{10}$）²，
∵a＞0，
∴a=3，
∴AM=3．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用全等三角形或相似三角形的性质解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．