Question

11．如图已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-8k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过O、A两点．
（1）求抛物线的解析式（用含a的代数式表示）．
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D的半径的长及抛物线的解析式．
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线y=ax²+bx在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使∠POA：∠OBA=2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求出A点坐标，代入抛物线y=ax²+bx得出b=-8a，进而可得出其解析式；
（2）设⊙D的劣弧沿x轴翻折后所在的圆为⊙D′，根据AD与⊙D′相切得出∠D′AD=90°，再由AD′=AD得出△ADD′是等腰Rt△根据AO⊥DD′可知∠OAD=45°，由AO=8得出D点坐标，根据点D是抛物线的顶点求出a的值，继而可得出结论；
（3）设点P的坐标为（x，y），且x＞0，y＞0，当点P在抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-2x上时根据点B是⊙D的优弧上的一点，∠ODA=90°可知∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ADO=45°．再由∠POA：∠OBA=2：3得出∠POA=$\frac{2}{3}$∠OBA=30°．过点P作PE⊥x轴于点E，由tan∠POE=$\frac{EP}{OE}$可知$\frac{y}{x}$=tan30°，故y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．再代入抛物线的解析式求出x的值，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵令y=0，kx-8k=0，
∴x=8，
∴A（8，0）．
∵A在抛物线y=ax²+bx上，
∴64a+8b=0，
∴b=-8a，
∴y=ax²-8ax；

（2）当a＞0时，设⊙D的劣弧沿x轴翻折后所在的圆为⊙D′，
∵AD与⊙D′相切，则∠D′AD=90°，AD′=AD，
∴△ADD′是等腰Rt△．
又∵AO⊥DD′，
∴∠OAD=45°，
∵AO=8，
∴D（4，-4）
∵D是抛物线的顶点，
∴-4=16a-32a，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-2x；

（3）存在．
设点P的坐标为（x，y），且x＞0，y＞0，当点P在抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-2x上时（如图）
∵点B是⊙D的优弧上的一点，∠ODA=90°，
∴∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ADO=45°．
∵∠POA：∠OBA=2：3，
∴∠POA=$\frac{2}{3}$∠OBA=30°．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∴tan∠POE=$\frac{EP}{OE}$，
∴$\frac{y}{x}$=tan30°，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{1}{4}$x²-2x，
∴x₁=0（舍去），x₂=8+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴y=$\frac{4+8\sqrt{3}}{3}$＞0，
∴P点的坐标为（8+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{4+8\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、切线的性质等知识，在解答（3）时要作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义解答．