Question

已知x、y、z都是实数，且x²+y²+z²=1，则m=xy+yz+zx（　　）

• A、只有最大值
• B、只有最小值
• C、既有最大值又有最小值
• D、既无最大值又无最小值

Answer 1

分析：先用配方法化成m=

1

2

[（x+y+z）²-（x²+y²+z²）]=

1

2

[（x+y+z）²-1]的形式，即可得出最小值，再根据x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，x²+z²≥2xz，三式相加可得最大值．

解答：解：∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz，
∴m=

1

2

[（x+y+z）²-（x²+y²+z²）]=

1

2

[（x+y+z）²-1]≥-

1

2

，
即m有最小值，
而x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，x²+z²≥2xz，
三式相加得：2（x²+y²+z²）≥2（xy+yz+xz），
∴m≤x²+y²+z²=1，即m有最大值1．
故选C．

点评：本题考查了配方法的应用，难度较大，关键是掌握用配方法求二次函数的最值．