矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4 $数学公式$ ，BC=4，在线段AC上取一点E，使△CDE为等腰三角形，请你画出图形，直接写出OE的长，并画出体现解法的辅助线．

解：∵AC=4 $\text{[math]}$ ，BC=4，
∴AB=8，
∵△CDE为等腰三角形，
∴当CD=CE时，EC=CD=8，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4 $\text{[math]}$ ，
∴AO=CO=2 $\text{[math]}$ ，
∴EO=AO-AE=AO-（AC-CD）=8-2 $\text{[math]}$ ，
当ED=CE时，E，O重合，△CED是等腰三角形，此时EO=0．
分析：根据矩形的性质以及勾股定理求出AB的长，进而根据当CD=CE时，当ED=CE时求出EO即可．
点评：此题主要考查了应用设计与作图以及矩形的性质和勾股定理，熟练利用矩形性质得出是解题关键．

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（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

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