Question

如图，四边形ABCD为菱形，点G为BC的延长线上一点，连接AG，分别交BD、DC于点E、F，连CE．
（1）猜想EC与AE的数量关系为

 

；（不需证明）
（2）若F为CD的中点，猜想

FG

EF

=

 

，并说明理由；
（3）若AE=mEF（m＞1），猜想

FG

EF

=

 

．（用m表示，不需证明）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）由菱形的性质可知∠ABE=∠CBE，AB=BC，所以△ABE≌△CBE，所以EC=AE．
（2）通过△ABE∽△FDE即可求得

FG

EF

=3．
（3）由（2）可知

FG

EF

=m²-1．

解答：解：（1）EC与AE的数量关系为EC=AE．

（2）3，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥CG，
∴∠DAF=∠G，
又∵F为CD的中点，
∴DF=FG，
又∵∠AFD=∠GFC，
在△ADF与△GCF中，

∠DAF=∠G ∠AFD=∠GFC DF=FG

，
∴△ADF≌△GCF（AAS）
∴AF=FG，
由四边形ABCD为菱形，可得AB=CD=2FD，AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴

FD

AB

=

EF

AE

=

1

2

，即AE=2EF，
∴FG=AF=3EF，
∴

FG

EF

=3．

（3）m²-1．
故答案为EC=AE，3，m²-1．

点评：此题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定定理及性质．