Question

5．正方形ABCD的一边AB为直径在正方形内作半圆O，过点D作这个半圆的切线交BC于点F，E为切点，BF=1，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 设正方形ABCD的边长为a，先判断AD和CB为半圆O的切线，则根据切线长定理得到CE=FB=1，DE=DA=a，所以CF=CB-BF=a-1，DF=EF+DE=a+1，然后在Rt△CDF中根据勾股定理得到（a-1）²+a²=（a+1）²，再解方程即可得到正方形ABCD的边长．

解答 解：设正方形ABCD的边长为a，
∵AB为半圆O的直径，
而DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD和CB为半圆O的切线，
∵DF为半圆O的切线，
∴CE=FB=1，DE=DA=a，
∴CF=CB-BF=a-1，DF=EF+DE=a+1，
在Rt△CDF中，∵CF²+CD²=DF²，
∴（a-1）²+a²=（a+1）²，解得a₁=0（舍去），a₂=4，
即正方形ABCD的边长为4．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了正方形的性质和切线长定理．